Análisis hidrodinámico del barco

Deseamos calcualr el tiempo que demorará nuestro barco en recorrer los 5 metros. Para esto realizamos el siguiente balance de fuerzas:

Matemáticamente,
Siendo,
Considerando que F=PA, tenemos lo siguiente:
Finalmente, integrando sobre el dominio del tiempo, encontramos la velocidad en el tiempo.

Aplicando condiciones iniciales, para todo k se cumple que la velocidad del barco es 0 para t=0, por lo tanto se debe calcular experimentalmente en el laboratorio. A modo de simplificación, asumimos k=0. Luego,

Que corresponde a la velocidad del barco en el tiempo.

Luego, los valores a reemplazar son:

Para calcular el tiempo que demora recorrer los 5 metros, integramos la expresión anterior y la igualamos a la distancia a recorrer.
Resolviendo, encontramos lo siguiente:

Reemplazando para los valores antes calculados, obtenemos que el barco recorre los 5 metros en 22,73 segundos.

Diseño de la placa y analisis de Fuerza

Debemos encontrar la forma óptima de la placa, para que esta sea capaz de captar o transformar la mayor parte de la energía entregada por el chorro en movimiento para el barco.

Si hacemos un análisis de fuerzas sobre esta placa tendremos los siguiente:

Si lo realizamos en la dirección horizontal, la única fuerza en acción será la resultante del chorro F.
Ahora, si utilizamos el teorema del transporte de Reynolds, considerando que la propiedad intensiva a considerar es la velocidad, tenemos que:

Con (1) y (2)
Como nuestro fluido es homogéneo y se encuentra en régimen permanente podemos utilizar la siguiente ecuación
Desarrollando cada uno de nuestros terminos y considerando que la velocidad de entrada y salida del flujo son iguales, bajo el supuesto de que no hay perdidas de energía.

Llegamos a lo siguiente

Con lo anterior estamos en condiciones de encontrar la forma de nuestra placa, debemos maximizar la fuerza. Esto ocurre cuando cos(B)=1 lo cual coincide con que la salida del fluido sea en la dirección opuesta a su ingreso.

Por lo que una de las formas que podría ser es una semiesfera , la cual da igual como entre el chorro siempre lo desviará en el sentido contrario. La desventaja que tiene este diseño es que si el chorro impacta exactamente en el centro de esta las perdidas energéticas podrían ser importantes, para amortizarlo se podría hacer una especie de filete curvo en su centro para que fuese similar a como si impactara en una de sus paredes.

Otro posible diseño a efectuar es una mitad de cilindro también con un filete en su centro, similar al anterior. Con la misma finalidad que el de la semiesfera.

Como el chorro vendrá solamente en una dirección nos conviene utilizar la placa cilíndrica, la cual tendrá un radio de 8 cm y largo de 12 cm.

Pruebas de flotación y estabilidad

A continuación les mostramos unos videos de las pruebas de flotación y estabilidad a medida que ibamos avanzando en la construcción de nuestro modelo de bote.

Prueba N°1

Prueba N°58

Trabajo en el barco

A continuación se pueden ver algunas fotos del trabajo en el barco y en los analisis matemáticos.

Francisco utilizando sus habilidades matématicas

Diego y Pedro Pablo trabajando en las manualidades

Pablo probando el modelo

Análisis Hidrodinámico de Navier-Stokes

Mediante Navier-Stokes,
Suponiendo un fluido incompresible,
Luego, dada la dirección del flujo en la dirección x,


Considerando aceleración constante, y la variación de presión nula en el sentido del flujo, tenemos que:
Considerando las siguientes condiciones de borde,


Y realizando una integración doble, obtenemos que,

La cual corresponde a la velocidad del flujo.

Análisis del Estanque

Considerando la geometría del problema, podemos encontrar una relación para la velocidad de impacto del agua con la placa del barco en función de la altura del agua. Para esto, encontramos la siguiente ecuación de la recta, considerando como "y" a la altura del agua. Utilicemos el siguiente dibujo como referencia:

Luego,
Además,
Por continuidad,

Luego, por conservación de energía (Bernoulli), considerando presión atmosférica y altura inicial en la de impacto, tenemos que,
Entonces,
Considerando que la tubería es de sección circular,
Podemos realizar simplificaciones y asumir la velocidad de caída del agua constante e igual al promedio de velocidades. Para esto usamos la relación:

Reemplazando los valores,
Entonces, si el largo de la cañería es de 2 metros aproximadamente:

Equilibrio y Estabilidad

• EQUILIBRIO
Ahora debemos calcular los volúmenes:

- Volumen del barco

Para obtenerlo, dibujamos el barco en el programa Inventor, y mediante este, calculamos todas las áreas de las distintas superficies del barco. Luego, multiplicándolas por el espesor de las láminas, obtuvimos el volumen del barco. Al multiplicarlo por la densidad de las placas, tenemos el peso del barco.

Entonces:



- Volumen Botella

Como es una botella de agua, sabemos que:




- Volumen de Carena


Sigamos el siguiente procedimiento. Usando proporciones, podemos encontrar una expresión para el área transversal del barco para cualquier altura. Al multiplicar esta área genérica por su altura e integrando, encontramos una expresión para el volumen del barco hasta esa altura.


Ahora necesitamos encontrar la altura del Centro de Carena para conocer el volumen de Carena.
Mediante el inventor, conocemos la ubicación del centro de gravedad (ver planos).

La altura del Centro de Carena podemos obtenerla mediante una proporción entre la altura del barco, la posición del centro de gravedad y la línea de flotación, de la siguiente forma:

Reemplazamos las ecuaciones anteriores en la igualdad de equilibrio, y despejamos x, que corresponde a la altura del centro de Carena. Recordemos que g=9,8 m/s^2.
A partir de esto obtenemos que la altura es 4.28 cm bajo la superficie del barco.
Finalmente,
Con estos resultados y considerando las medidas del barco, sabemos que este se sumerge 3.1 cm, por lo que se respeta la condición de flotación impuesta.


• ESTABILIDAD


Entonces,

Luego, conociendo estos datos sabemos que el barco es estable, ya que se respeta la condición de Estabilidad.

Materiales

Para el diseño y fabricación de nuestro barco hemos elegido un plástico que se moldea fácilmente con el calor denominado PAI (Poliestireno de alto impacto). El barco contará con un casco que será hueco, es decir solo la superficie de contacto con el agua y la parte superior del barco tendrán una capa de PAI de 0.5mm, el resto será sólo aire, además de la botella de “Coca-Cola” de un litro que irá afirmada por este mismo plástico y la quilla que también será construida con el plástico PAI. Este material (plástico PAI) tiene densidad 1.05gr/cm3, lo cual consideramos una densidad adecuada, ya que al estar lleno de aire y considerando que el aire tiene una densidad de 1.3 kg/m3 (densidad muy baja comparada con la del agua), el barco reducirá notoriamente su densidad, con lo cual este flotará en el agua, al tener densidad menor esta (1gr/cm3).Al sostener la botella de un litro de agua, se hundirá lo que nosotros deseemos lo cual está expresado en la sección de cálculos matemáticos realizados.


Elegimos el plástico PAI ya que es un material firme, que es resistente a todo tipo de esfuerzos, pero a la vez es fácil de moldear. Su punto de fusión se da a más de 80°C, por lo que calentándolo a esa temperatura es fácil de moldear y no se producen en él ni grietas, ni burbujas. Lo elegimos por sobre la plumavit, que era nuestra segunda opción, debido a que este último material es más difícil de moldear y es mucho menos resistente a los esfuerzos de todo tipo, como por ejemplo a los esfuerzos de corte.
Tomando en cuenta las dimensiones del barco (detalladas en el plano del barco), necesitaremos dos placa de PAI que miden 1.22 m de ancho y 2.44 m de largo. Además, como dijimos anteriormente, las placas serán de 0.5mm de espesor.



Aqui van tres links para referencias:
http://www.cpchile.com/contenido.php?id_articulo=68&id_categoria=3
En este primer link, que es la empresa que comercializa el PAI en Chile, se detallan los datos (medidas, colores, etc) del material y cómo se vende.

http://www.cpchile.com/pdf/pai/PLAZTYRENE-PROPERTIES.pdf
En este segundo link, se detallan las propiedades del PAI y los test que llevaron a obtener estas propiedades.

http://www.cpchile.com/pdf/pai/HIPS_Safety_Data_Sheet.pdf
En este último link se detalla cómo se trabaja con el PAI y las precauciones que hay que tener en cuenta a la hora de moldearlo.

Nuestro prototipo

El diseño de nuestra embarcación se enfocó principalmente en darle estabilidad al barco, ya que consideramos que por ahora es la parte más importante. Luego en otras entregas vendrá el análisis hidrodinámico, lo que hará que su desplazamiento sea de forma óptima, por lo que podría estar sujeto a cambios el diseño.

Nos inspiramos en diversas cosas hasta llegar a nuestro prototipo, como fueron barcos petroleros hasta tablas de surf. Cada una aportando con sus ideas, pero llegamos a la conclusión que para que sea estable debe ser ancho, que cueste rotarlo, es decir que no se de vuelta con respecto a su eje. Algo que aporta con esto y darle dirección durante su movimiento son las quillas, que este sea controlado.
En la foto anterior se puede apreciar lo que mencionabamos, donde se aprecia el trío de quillas. Siendo la central la más grande. El punto que se aprecia en la imagen es el centro de gravedad de la embarcación, lo cual fue de suma importancia encontrarlo exactamente, debido a que exactamente sobre el se debe ubicar la botella para que esta no ejerza ningún tipo de momento con respecto a este punto, lo cual haga que el barco este perfectamente balanceado y no tienda a volcarse.

Para ubicar la botella decidimos hacer un agujero de diámetro igual al de la botella y una especie de pared que se levanta por sobre la superficie libre del barco, a una altura igual a la del centro de percusión de la botella, aproximada por un cilindro, para que este no ejerza esfuerzos horizontales.


En esta foto se aprecia lo mencionado anteriormente, recalcando que el centro del orificio esta exactamente sobre el centro de gravedad de nuestro barco. Este centro de gravedad lo calcula de forma automática el programa inventor, el cual fue utilizado para hacer el diseño 3D.

Finalmente mostramos los planos detallados de construcción de la embarcación, que contiene todas las medidas y dimensiones necesarias. (Todas están en cm)